Гидродинамика толпы

 

И.Гончаров
ХиЖ 880

r*g*z + p + r *v2/2 - const

Уравнение Бернулли

        Применять математику к любым явлениям, в том числе и не имеющим к ней никакого отношения, стало признаком хорошего научного тона. Подобное желание появилось и у меня; однако, не в пример некоторым, я остановился на проблеме, не терпящей отлагательств.

        Каждодневное участие в посадках, высадках и пересадках с транспорта на транспорт навело меня на мысль о сходстве потоков людей и жидкости. Ознакомление с литературой показало, что эта мысль не нова: «...подобно широкому и могучему потоку неслась    толпа...» (А. Толстой), «... от этих рек (людей.— И. Г.) отделялись ручейки   и   вливались...» (М.Булгаков). Однако цитируемые авторы не привели математического описания и тем более не пытались использовать свои наблюдения в практике.

        Казалось бы, движение можно описать тривиальной формулой

s=V * t

        Но при этом молчаливо предполагается, будто Vтолпы = Vчеловека, а из опыта ясно, что это не так. Когда людей много, образуется новое качество, и у этого качества должны быть свои законы.
        Приняв аналогию толпа — жидкость, воспользуемся законами гидродинамики. Рассмотрим уравнение Бернулли, которое применительно к новым обстоятельствам будет называться уравнением Гончарова—Бернулли. Свою фамилию я поставил на первое место потому, что уравнение в старой форме теряет актуальность: его использовали большей частью, описывая движение воды в трубах, что в настоящее время наблюдается далеко не всегда, особенно на верхних этажах.

        Немало полезного можно почерпнуть уже из одномерного варианта уравнения, когда первый его член, учитывающий перепад высот (на лестницах, эскалаторах, подножках автобусов и т. п.), выбрасывается:

p + r*V2/2

        Очевидно, что при росте скорости давление падает (на этом, кстати, основано действие водоструйного насоса). В нашем случае вывод будет таким: при втекании толпы в отверстие образуются зоны всасывания. Это подтверждено многократными экспериментами. Например, в метро: достаточно выбрать правильное место на платформе, и вы без всяких усилий оказываетесь в вагоне. Порою сила всасывания такова, что ноги отрываются от земли. Люди же неопытные стоят до второго, иногда и до третьего пришествия поезда.

        Схема явления приведена на рис. 1. Из уравнения сплошности

F1V1=F2V2

(где F — сечение) следует, что V2>V1, значит, р21.
  
     Разность давлений приводит к тому, что образуются две зоны: всасывания (А) и застоя (В).

        Если скорость существенно возрастет, то давление может упасть настолько, что начнется разрежение потока и образование в нем пустот; в гидродинамике это явление называется кавитацией   и обычно бывает вредным. Кавитацию в толпе следует считать полезным явлением.
        В частности, на границе двух противопотоков (например, в переходах метро), где относительная скорость велика, а давление мало, образуется свободное пространство, позволяющее отдельным индивидам развивать значительную скорость.

        Далее обратимся к модификации уравнения Гончарова — Бернулли, с дополнительным слагаемым dpм.с. означающим потери давления на местные сопротивления:

p + s*V2/2 + dpм.с. =const

        Совершенно ясно, что при росте dрм.с. скорость, а следовательно, и пропускная способность человекопровода уменьшается. Ради этого у стадионов и станций метро в часы «пик» устраивают длинный узкий проход, огороженный с обеих сторон барьерами (рис. 2). Тогда возникают потери давления по длине: dpм.с.=kL, где k — коэффициент   пропорциональности.

        Могу предложить не менее эффективный способ: вбить перед входом лес столбов на расстоянии 0,5— 0,7м (рис. 3). Или высадить деревья с тем же интервалом. Последнее с эстетической точки зрения предпочтительнее.

        На первый раз достаточно. Наблюдательный читатель сам найдет и новые приложения теории, и другие примеры, подтверждающие ее справедливость.   Хочу лишь отметить, что здесь вскрыта только часть явления; для более глубокого понимания следует решить обобщенное  дифференциальное уравнение ... — Навье — Стокса (вместо точек свою фамилию поставит будущий автор). Что же до значения эквивалентной плотности толпы р, то я его не раскрою; в противном случае все станут ездить научно и конкурентов не оберешься.

        В заключение выражаю признательность    участникам эксперимента — всем жителям Москвы, рискующим ездить в часы «пик».