Очередь: кинетические и практические аспекты
И.А.ЛЕЕНСОН, А.П.ОСИПОВ,
Московский
государственный университет,
кафедра
химической кинетики
Вопрос о времени, которое научные сотрудники проводят в очереди за обедом, представляет значительный интерес [1], Недавно в литературе появились сообщения на данную тему. Как отмечает автор одной из работ [2], с практической точки зрения наиболее важно определить время пребывания в очереди ее n-го члена. Однако трудность учета случайных факторов не позволила автору дать точное математическое решение поставленной задачи и должным образом согласовать теорию с экспериментальными данными. В настоящей работе предпринята попытка дать более подробное математическое описание проблемы с учетом ряда таких факторов. Результаты нашей работы позволяют, в частности, объяснить феноменальное явление, когда человек в очереди движется не вперед, к кассе, а назад.
Приступим
к изложению теории. Скорость движения к
кассе стоящего в очереди n-го
ее члена можно записать как
где Кк—константа, учитывающая скорость работыкассирши, Кэн — константа знакомств (член -Кэнn соответствует уменьшению скорости за счет тех, кто ищет в очереди знакомых; вероятность найти знакомого пропорциональна длине очереди). Наконец, константа Кн учитывает тех, кто вначале ест и потом платит без очереди, а также знакомых кассирши.
Интегрируя исходное дифференциальное уравнение (I), получаем зависимость величины очереди от времени:
где nо — исходное число людей в очереди при t=0. Уравнения (I) и (II) напоминают кинетические выражения для цепных разветвленных реакций [З]. Это означает, что существуют условия, при которых рост очереди идет со взрывной скоростью.
Для
наглядности приведем графическую
иллюстрацию. Если никто не пристраивается к
знакомым (например, в ГУМе, где вероятность
найти знакомого в очереди практически
отсутствует и Кэн=0), мы будем двигаться в
очереди равномерно со скоростью V=Кк—Кн (кривая
1). Если же очередь выстроилась в учреждении,
где много знакомых, то процесс будет
определяться соотношением величин nо
и (Кк—Кн)/Кзн.
При (Кк—Кн)/Кэн > nо мы будем двигаться
вперед с возрастающей скоростью в
соответствии с кривой 2:
чем ближе к кассе, тем меньше шансов, что впереди кто-то пристроится без очереди. Чтобы узнать время, затраченное на прохождение пути до кассы, надо в уравнение (II) подставить п=0 и решить его относительно t:
При (Кк—Кн)/Кэк < nо мы будем, также с возрастающей скоростью, удаляться от кассы (кривая 3), так как кассирша работает медленнее, чем растет очередь благодаря знакомым. В результате такого процесса мы скоро окажемся за пределами столовой и здания, в котором находится столовая; рассмотрение нашего поведения в подобных случаях в задачу авторов не входит.
В редко встречающемся случае (Кк - Кн)/Кан=nо мы будем стоять на месте (кривая 4), довольствуясь лишь тем, что для стоящих сзади справедливо предыдущее условие (см. кривую 3) и они один за другим исчезают из поля зрения.
Проверка предложенной теории была проведена нами в одной из столовых МГУ. Получены следующие значения констант:
Кк=2,2 чел-мин-1; Кзн=0,1 мин-1; Кн= =0,2 чел-мин-1. Если в очереди, например, 15 человек, то, согласно (III), вы дойдете до кассы за время
при nо=19 t=30 мин.Но уже при no=20 мы встречаемся с явлением, изображенным кривой 4; иными словами, при nо>20 вы никогда не пообедаете. Налицо критическое явление, как в разветвленной цепной реакции.
Практическая ценностьразработанной нами теории очевидна. Если вы постоянно обедаете в одной и той же столовой, то следует определить для нее значения констант Кк, Кн и Кэн, наблюдая за очередью с секундомером в руках. Затем, приходя обедать, прежде всего, посчитайте число людей в очереди. Если окажется, что nо>=Кк—Кн)/Кзн, вставать в хвост бессмысленно. В этом случае надо либо искать знакомого, для которого выполняется соотношение nо< (Кк—Кн)/Кзн, Либо пойти в другую столовую с более благоприятным соотношением констант.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Частное сообщение.
2. Г. А.
ШТРАЙХМАН. Очередь: термодинамические и
кинетические аспекты. «Химия и жизнь», № 9, с.
89, 1973.
3. С.
БЕНСОН. Основы химической кинетики. «Мир», М.,
1964.