О мнимой единице и дырке от бублика

К.П.Гурьев

        Как известно, существование позитрона, а затем и других античастиц было сначала предсказано теоретически, выведено из анализа абстрактных уравнений, а затем уж доказано экспериментально. Видимо, и многим другим математическим абстракциям можно при известном напряжении мысли найти реальные эквиваленты.

        Меня, в частности, давно занимал вопрос: а что конкретно представляет собой мнимая единица, 1=sqrt(—I)? После долгих размышлений мне удалось сделать открытие, истинное значение которого я даже затрудняюсь оценить.

        Возьмем обыкновенный бублик. Существует ли его дырка? Несомненно. Однако вещественна ли она настолько же, насколько вещественно тело бублика, которое можно разжевать и проглотить? Сомнительно, хотя бублика без дырки не существует. То есть бублик представляет собой комплексное тело, подобное комплексному числу в математике: оно состоит из действительной, вещественной части (тела бублика) и некоторой менее вещественной, мнимой части (дырки).

        Далее для удобства и большей наглядности перенесем рассуждения на плоскость. Возьмите безопасную бритву и аккуратно вырежьте изображенную ниже квадратную дыру:

 

 

 

 

 

        У вас получится плоская модель дырки от бублика. Определим площадь этого листа бумаги. С одной стороны, она равна площади такого же листа бумаги без дырки, ибо лист с дыркой занимает столько же места, сколько к лист без дырки. С другой стороны, действительная площадь дырявого листа Sд.л. меньше площади целого листа Sц.л., на площадь дырки Sд:

 

Sд.л. = Sц.л. - Sд

или

Sд.л. = Sц.л. + (- Sд)

 

        То есть площадь дырявою листа состоит из суммы площади целого листа и отрицательной площади дырки. Поэтому длину стороны L квадратной дырки можно определить так:

L = sqrt(-Sд) = i * sqrt(Sд)

        Но если принять площадь дырки равной единице, то тогда

L = i

        Теперь вы можете не только написать на бумаге мнимую единицу i, по и пощупать ее руками. Это сторона квадратной дырки, площадь которой равна единице... Заметим, что вырезанный квадратик имеет стороны, равные по величине действительной единице. Последнее дает возможность строго сформулировать ранее интуитивно ощущавшееся различие между квадратом и квадратной дыркой.

        Итак, мне принадлежит честь экспериментального открытия мнимой единицы. Кстати, было бы любопытно разобрать такой вопрос: а что происходит с дыркой после того, как бублик съеден? Предлагаю желающим заняться исследованием этого интереснейшего вопроса.